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量子力学中粒子的概率密度满足守恒方程吗？氢原子为何拥有磁矩？一个运动的粒子如何爬上阶梯？

4月2日12时，《张朝阳的物理课》第134期开播，创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇视频直播间，首先为大家介绍了量子力学中概率密度和概率流的定义，同从薛定谔导出概率流守恒方程。其后，为了更好地理解这两个新概念，张朝阳计算了氢原子能量本征态对应的概率流，发现当磁量子数不为零时，核外电子会形成环流，进而带来非零的磁矩。紧接着他还讨论了一个自由传播的粒子遇到阶梯势场时的行为，发现当粒子能量能够克服阶梯高度时，粒子有一定的概率会爬上阶梯继续向前，也有一定的概率会被反弹向后传播。借助概率流的概念，可以证明这个过程中量子力学概率诠释是恰当而适用的。

量子力学中的概率密度与概率流及其守恒方程

与支配我们日常的高山流水、车水马龙的宏观物理不同，微观粒子的行为十分奇异，微观世界的物理学也因此变得极其抽象。但是张朝阳注意到，自然界的奇迹在于，支配微观粒子的数学方程和支配宏观波动的数学方程从数学的角度看是高度相似的。

利用解决宏观波动问题时发展的工具和技巧，我们可以将研究微观粒子的运动行为大致分成两步。第一步是关注一个微观粒子不含时间的定态行为，在数学上也就是解不含时的薛定谔方程。第二步是考察粒子随时间的演化，数学上，它即是要求我们对粒子可能取到的定态加上含时相位再重新组合。

同时，张朝阳也注意到，在传统的教学中，我们在考虑动态问题上花了许多的功夫，比如考虑解无限深方势阱的能级、谐振子的能级、氢原子的能级等等。相反地，对量子系统本身随时间演化的问题缺乏关注。出于好奇心，在前一段时间的直播课上，张朝阳仔细讨论了自由粒子的传播过程，还尝试了在粒子运动中引入它和高墙的相互作用，详尽分析了一个高斯波包在不同情况下的演化细节。

经过前面的学习，现在我们应该很熟悉量子力学的一些基本概念。比如以薛定谔的观点，微观粒子的用波函数ψ(t, x)来描述，比如一个平面波写为

而在某个位置找到粒子的概率是

称为概率密度。对平面波而言

也就是在空间上每点找到粒子的概率都是一样的。但是，仔细思考下来可以问这样一个问题。我们回想波包的运动，本质上它对应的是概率波本身的传播，是一个波的“流动”的过程。在前面的课上，我们已经对此进行过讨论。而从直觉出发，平面波所描述的微观粒子也应该是在一直运动的。或者说，它对应的波应当是在一直“流动”的。然而在目前的数学形式上，这种“流动”的特征不被提及。现在我们就可以问：究竟有没有一个恰当的方式，可以统一地刻画“流动”的特征呢？

谈起密度和流，我们能回想起在流体力学里面有物质守恒方程

在电动力学里面也有电荷守恒方程

在量子力学中，我们有概率密度地定义

自然可以问，能不能找到一个流的表达式，建立起同样形式的守恒方程

呢？

首先我们在一维的系统中试图回答这个问题。将概率密度的对时间求导，可以得到

而波函数对时间求偏导让我们回想起薛定谔方程

利用它，可以进一步化简到

因为势场V(x)总是实的，所以只剩下

在利用函数乘积的求导法则，可以将这个结果写为

对比一维系统中的流守恒方程

可以定义

其中m是所描述粒子的质量，将它称之为概率流（Probability flux），使得量子力学中的守恒方程成立。

如果推广到一个三维的物理系统，所有对空间坐标x的偏导应该相应地修改为梯度▽，于是类比可以定义概率流矢量

可以预期它将起到刻画微观粒子的“流动”特性的作用。

（张朝阳导出概率流的定义）

几个概率密度与概率流的例子

为了更直观地理解概率流的定义和其中的物理意义，我们可以尝试计算几个比较熟悉的例子。首先是假设粒子的波函数是个平面波，此时概率密度是

求它对应概率流需要一些仔细的计算

可以发现它是振幅模方和行进速度（群速度）的乘积。这个结果与时间和空间坐标都无关，表明这个粒子是在均匀地“流动”，符合我们的预期。

当然，前面的课程中我们讨论过，一个自然界中真实的自由粒子应该用波包来刻画，而不是单个平面波。其中，高斯波包

是数学上最简单优雅的建模。将高斯波包的形式代入概率流的定义，我们同样能够严格地得到它的概率流的数学表达。其中的数学计算相对复杂但并不困难，在这里，张朝阳将具体的计算留给了各位观众作为练手，希望每个人都能实际地参与到学习中。它的结果也将是一个高斯函数的形式。

现在来看一个更有意思的例子。回忆起去年的量子课程，我们曾经详细地讨论过氢原子的能级和对应的本征态。在本节课上，张朝阳希望能够结合我们已知的结果，来探讨氢原子处于某个具体的本征态上时，核外电子的“流动”特性。首先，回忆前面的课程，我们知道氢原子的核外电子在势场

中运动，处于束缚态。它的本征函数被三个量子数n、l、m标记

其中，主量子数n决定了能级能量的大小，角量子数l对应总角动量的模长，而磁量子数m表征角动量在z轴方向上投影的大小。注意到在这里函数R和勒让德多项式P及其系数都是实数，复数部分只有与幅角有关的相位部分。为了方便，我们可以改记

以函数f代表所有的实数部分。

在球坐标下，梯度算符的形式为

将这些结果代入到概率流的定义中，可以计算

其中为了避免记号重复，我们用μ标记核外电子的约化质量，将m保留给磁量子数。可以看到前两个圆括号中的显然相互抵消，其中真正需要计算的只有最后一项

也即是说如果本征态m不等于0，它将会导出一组绕着z轴的环流。此时，因为我们考虑的是带电粒子，它的“流动”会形成电流，密度为

这些环形电流预期将会产生磁矩，它的强度是积分

其中A是环形电流所包围的面积，而每个环形电流必然与某以z轴为边的半个平面P（如图中右半圆）交于一点。

对这个半个平面进行积分即等价于把所有环形电流产生的磁矩叠加，于是可以得到总的磁矩。这个积分可以严格计算，最后得到

这个结果即证明了，同经典力学一样，量子的轨道角动量将会引起磁矩。这也解释了氢原子磁矩的轨道角动量起源，它会导致原子在外加电磁场中的顺磁逆磁，以及光谱谱线劈裂等现象。当然，此时只有处在m ≠ 0的态上的氢原子有环形电流和磁矩，进而能级在有外磁场存在时产生偏移，而对于s波的氢原子则不然。

（张朝阳推导氢原子定态的概率流）

粒子在阶梯势场中的散射和反射

重新回到一维的量子系统，在上一节课上，我们研究了如果在自由粒子的运动方向上放置一堵高墙，它如何被反弹回来这一问题。现在我们可以转而考虑如果它遇到的不是一堵墙，而是一个台阶，粒子又如何运动的。如图所示，我们的空间被分成两部分，在x < 0部分不存在任何势场，但在x > 0部分有一个恒定的势，其大小记为V。

我们当然可以考虑一个波包从左边过来，遇到这个台阶，进而继续演化。但是不同于高墙，波包遇到阶梯这个过程在计算上非常困难。这时候最好的处理方法反而是研究一个定态或者说动量本征态如何演化。一旦我们理解了动量本征态的行为，我们就可以将波包分解为许多动量本征态的组合，再分别进行研究，最后的结果将会是它们独立演化之后的叠加。

首先我们考察这个势场中粒子的定态。在x < 0部分，粒子要满足定态薛定谔方程

而另一边，它要满足定态薛定谔方程

或者为了方便可以将其改写为

这里我们假设有能量 E > V。分别解这两个方程，可以得到

其中两个波数分别由

给出。

现在假设有一个给定能量为E > V的粒子从左边往右方入射，遇到阶梯后，它可能会被反弹回来，所以在阶梯左侧取

第二项即是朝左往回走的波。而它可能爬上阶梯继续往右走，所以在阶梯右侧取

这里注意在右侧，由于我们的设定，没有理由存在往左走的波包。而在两个区域的交界x = 0处，量子力学的基本原理要求波函数本身和一阶导数都连续

上式也被称为“连续性条件”。将上面的解形式代入，可以得到方程

第二个方程即是

结合第一条方程，可以得到

于是可以得到

注意到

所以如图所示，粒子同时既有概率会被反弹回去，以同样的波数自由往回传播；也有概率会爬上阶梯，在克服势场后，以相对较慢的速度或者说是较小的波数继续向右传播。

但是注意到，这个不等式同时也意味着

也就是说穿透到阶梯右侧的波的振幅，竟然比入射的波的振幅更大？张朝阳解释道，猛看之下这个结果非常奇怪似乎是不可能的。但是注意此时使用概率诠释应该回到概率流的定义。对平面波而言，它的概率流大小不仅与它的振幅相关，还与它的速度或者说是波数相关。如果仔细地计算入射波和透射波的概率流幅度之比

这个物理量又被称为透射率（Transmissivity）。利用完全平方公式

可以证明

也就是只有一部分波透过了台阶到了右边，符合我们对概率守恒的预期。再看反射部分

这样一个量称之为反射率（Reflectivity），把他们相加，可以去验证概率守恒

保持了概率诠释的有效性。

（张朝阳推导粒子在阶梯势场中的透射率与反射率）

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在视频直播，网友可以在视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在新闻APP的“科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

本节课相关视频如下：

运行高斯波包的波函数计算

运动高斯波包的反射

有障碍物存在的数学描述